ملخص قوانين الاحتمالات
مقدمة
الاحتمال هو مقياس لمدى احتمالية حدوث حدث ما. يمكن أن تتراوح القيم الاحتمالية من 0 إلى 1، حيث يشير 0 إلى الاستحالة ويشير 1 إلى اليقين. تُستخدم قوانين الاحتمالات لحساب احتمالية وقوع أحداث متعددة أو مرتبطة.
قانون الجمع
إذا كان الحدثان أ و ب متنافيين (أي لا يمكن أن يحدثا في نفس الوقت)، فإن احتمال وقوع أحدهما أو الآخر يساوي مجموع احتمالاتهما:
“`
P(A أو B) = P(A) + P(B)
“`
على سبيل المثال، دعنا نقول إن احتمال سقوط الوجه على عملة معدنية هو 1/2. إذن، احتمال ظهور الوجه أو الكتابة هو:
“`
P(وجه أو كتابة) = P(وجه) + P(كتابة) = 1/2 + 1/2 = 1
“`
قانون الضرب
إذا كان الحدثان أ و ب مستقلين (أي أن وقوع أحدهما لا يؤثر على احتمال وقوع الآخر)، فإن احتمال وقوع كليهما يساوي حاصل ضرب احتمالاتهما:
“`
P(A و B) = P(A) × P(B)
“`
على سبيل المثال، دعنا نقول إن احتمال اختيار ورقة الآس من مجموعة أوراق لعب هو 1/52. واحتمال اختيار ورقة حمراء هو 26/52. إذن، احتمال اختيار ورقة آيس حمراء هو:
“`
P(آيس حمراء) = P(آيس) × P(حمراء) = 1/52 × 26/52 = 1/13
“`
قانون التمام
احتمال عدم وقوع حدث ما يساوي 1 ناقص احتمال وقوع الحدث:
“`
P(ليس A) = 1 – P(A)
“`
على سبيل المثال، دعنا نقول إن احتمال ظهور الرقم 6 عند رمي نرد سداسي الوجوه هو 1/6. إذن، احتمال عدم ظهور الرقم 6 هو:
“`
P(ليس 6) = 1 – P(6) = 1 – 1/6 = 5/6
“`
قانون بايز
قانون بايز هو طريقة لحساب احتمال حدوث حدث معين بناءً على معلومات إضافية:
“`
P(A | B) = P(B | A) × P(A) / P(B)
“`
حيث:
P(A | B) هو احتمال وقوع الحدث أ شرط وقوع الحدث ب
P(B | A) هو احتمال وقوع الحدث ب شرط وقوع الحدث أ
P(A) هو احتمال وقوع الحدث أ
P(B) هو احتمال وقوع الحدث ب
قانون التوزيع الاحتمالي الشرطي
التوزيع الاحتمالي الشرطي هو دالة احتمال تصف احتمال وقوع حدث ما شرط وقوع حدث آخر:
“`
P(X = x | Y = y) = P(X = x, Y = y) / P(Y = y)
“`
حيث:
P(X = x | Y = y) هو احتمال وقوع الحدث س يساوي س، شرط وقوع الحدث ص يساوي ص
P(X = x, Y = y) هو احتمال وقوع الحدثي س وص معًا
P(Y = y) هو احتمال وقوع الحدث ص يساوي ص
قانون التوزيع الاحتمالي المشترك
التوزيع الاحتمالي المشترك هو دالة احتمال تصف احتمال وقوع حدثين أو أكثر في نفس الوقت:
“`
P(X = x, Y = y) = P(X = x) × P(Y = y | X = x)
“`
حيث:
P(X = x, Y = y) هو احتمال وقوع الحدثي س وص معًا
P(X = x) هو احتمال وقوع الحدث س يساوي س
P(Y = y | X = x) هو احتمال وقوع الحدث ص يساوي ص، شرط وقوع الحدث س يساوي س
مذكرة إرشادية
يمكن تطبيق قوانين الاحتمالات على مجموعة متنوعة من المشكلات، بما في ذلك الألعاب والطقس والاستهلاك والتمويل.
من المهم فهم الفرق بين الاحتمال الشرطي والاحتمال المشترك.
يمكن أن تكون قوانين الاحتمالات معقدة، ولكنها توفر إطارًا قويًا لحساب احتمالية وقوع الأحداث.
استنتاج
قوانين الاحتمالات هي أدوات قوية لحساب احتمالية وقوع الأحداث. يمكن استخدامها لحل المشكلات في مجموعة واسعة من المجالات. من خلال فهم هذه القوانين، يمكنك اتخاذ قرارات أكثر استنارة بناءً على احتمالات الأحداث المستقبلية.