قوانين ضعف الزاوية للدوال المثلثية

No images found for قوانين ضعف الزاوية للدوال المثلثية

قوانين ضعف الزاوية للدوال المثلثية

مقدمة

تُستخدم الدوال المثلثية على نطاق واسع في الهندسة والفيزياء والتطبيقات الأخرى، حيث تصف العلاقة بين الزوايا وأطوال الأضلاع في المثلثات. وتُعد قوانين ضعف الزاوية للدوال المثلثية من القوانين المهمة التي تُستخدم لحساب قيم الدوال المثلثية للزوايا المضاعفة.

1. قانون ضعف جيب التمام

– إذا كانت θ زاوية، فإن sin(2θ) = 2sinθcosθ

– حيث يمثل sin(2θ) جيب تمام ضعف الزاوية، وsinθ جيب تمام الزاوية، وcosθ جيب تمام الزاوية التكميلية.

– على سبيل المثال، إذا كانت θ = 30 درجة، فإن sin(2θ) = 2sin30°cos30° = 2(1/2)(√3/2) = √3/2

2. قانون ضعف جيب الزاوية

– إذا كانت θ زاوية، فإن cos(2θ) = cos²θ – sin²θ

– حيث يمثل cos(2θ) جيب الزاوية ضعف الزاوية، وcosθ جيب الزاوية، وsinθ جيب تمام الزاوية.

– على سبيل المثال، إذا كانت θ = 45 درجة، فإن cos(2θ) = cos²45° – sin²45° = (√2/2)² – (√2/2)² = 0

3. قانون ضعف ظل التمام

– إذا كانت θ زاوية، فإن tan(2θ) = (2tanθ) / (1 – tan²θ)

– حيث يمثل tan(2θ) ظل تمام ضعف الزاوية، وtanθ ظل الزاوية.

– على سبيل المثال، إذا كانت θ = 30 درجة، فإن tan(2θ) = (2tan30°) / (1 – tan²30°) = (2√3/3) / (1 – 3/3) = √3

4. قانون ضعف جيب التمام + جيب الزاوية

– إذا كانت θ زاوية، فإن sin(θ + π/3) = sinθcos(π/3) + cosθsin(π/3)

– حيث يمثل sin(θ + π/3) جيب تمام زاوية مجموع الزاوية وπ/3، وsinθ جيب تمام الزاوية، وcosθ جيب تمام الزاوية التكميلية.

– على سبيل المثال، إذا كانت θ = 45 درجة، فإن sin(45° + π/3) = sin45°cos(π/3) + cos45°sin(π/3) = (√2/2)(1/2) + (√2/2)(√3/2) = 1

5. قانون ضعف جيب التمام – جيب الزاوية

– إذا كانت θ زاوية، فإن sin(θ – π/3) = sinθcos(π/3) – cosθsin(π/3)

– حيث يمثل sin(θ – π/3) جيب تمام زاوية الفرق بين الزاوية وπ/3، وsinθ جيب تمام الزاوية، وcosθ جيب تمام الزاوية التكميلية.

– على سبيل المثال، إذا كانت θ = 60 درجة، فإن sin(60° – π/3) = sin60°cos(π/3) – cos60°sin(π/3) = (√3/2)(1/2) – (1/2)(√3/2) = 0

6. قانون ضعف جيب الزاوية + ظل التمام

– إذا كانت θ زاوية، فإن cos(θ + π/4) = cosθcos(π/4) – sinθsin(π/4)

– حيث يمثل cos(θ + π/4) جيب الزاوية زاوية مجموع الزاوية وπ/4، وcosθ جيب الزاوية، وsinθ جيب تمام الزاوية.

– على سبيل المثال، إذا كانت θ = 45 درجة، فإن cos(45° + π/4) = cos45°cos(π/4) – sin45°sin(π/4) = (√2/2)(√2/2) – (√2/2)(√2/2) = 0

7. قانون ضعف جيب الزاوية – ظل التمام

– إذا كانت θ زاوية، فإن cos(θ – π/4) = cosθcos(π/4) + sinθsin(π/4)

– حيث يمثل cos(θ – π/4) جيب الزاوية زاوية الفرق بين الزاوية وπ/4، وcosθ جيب الزاوية، وsinθ جيب تمام الزاوية.

– على سبيل المثال، إذا كانت θ = 30 درجة، فإن cos(30° – π/4) = cos30°cos(π/4) + sin30°sin(π/4) = (√3/2)(√2/2) + (1/2)(√2/2) = √2/2

الخاتمة

تُشكل قوانين ضعف الزاوية للدوال المثلثية أساسًا لحل العديد من المسائل الهندسية والتطبيقات الفيزيائية الأخرى. وتُمكّن هذه القوانين من إيجاد قيم الدوال المثلثية للزوايا المضاعفة بسهولة وسرعة. وتعد فهم هذه القوانين وتطبيقها من المهارات الأساسية للطلاب والمهنيين في مجالات العلوم والهندسة والتكنولوجيا.