قوانين الدوال المثلثية
مقدمة
الدوال المثلثية هي دوال دورية تستخدم لوصف العلاقات بين الزوايا والأطوال في المثلثات. وهي تشمل الدالة الجيب وجيب التمام والظل والظل التمام والقطع الزائدي وجيب التمام الزائدي والظل الزائدي. تلعب الدوال المثلثية دورًا أساسيًا في العديد من التطبيقات، بما في ذلك علم الفلك والملاحة والهندسة.
الدالة الجيب (sin)
جيب الزاوية هو النسبة بين طول الضلع المقابل للزاوية والوتر في المثلث القائم الزاوية.
تتراوح قيم الجيب بين -1 و1.
عند الزاوية 0 درجة، يكون الجيب 0. وعند الزاوية 90 درجة، يكون الجيب 1.
الدالة جيب التمام (cos)
جيب التمام للزاوية هو النسبة بين طول الضلع المجاور للزاوية والوتر في المثلث القائم الزاوية.
تتراوح قيم جيب التمام بين -1 و1.
عند الزاوية 0 درجة، يكون جيب التمام 1. وعند الزاوية 90 درجة، يكون جيب التمام 0.
الدالة الظل (tan)
ظل الزاوية هو النسبة بين طول الضلع المقابل للزاوية وطول الضلع المجاور للزاوية في المثلث القائم الزاوية.
لا تتحدد قيم الظل.
تكون قيمة الظل 0 عندما تكون الزاوية 0 درجة.
الدالة ظل التمام (cot)
ظل التمام للزاوية هو مقلوب ظل الزاوية.
تتراوح قيم ظل التمام بين -∞ و∞.
تكون قيمة ظل التمام غير معرفة عندما تكون الزاوية 90 درجة أو 270 درجة.
الدالة القطع الزائدي (sec)
القطع الزائدي للزاوية هو مقلوب جيب التمام.
تتراوح قيم القطع الزائدي بين -∞ و∞.
تكون قيمة القطع الزائدي غير معرفة عندما تكون الزاوية 90 درجة أو 270 درجة.
الدالة جيب التمام الزائدي (cosh)
جيب التمام الزائدي للزاوية هو النصف مجموع الأساسين الطبيعيين للزاوية.
تتراوح قيم جيب التمام الزائدي بين 1 و∞.
عند الزاوية 0، يكون جيب التمام الزائدي 1.
الدالة الظل الزائدي (sinh)
الظل الزائدي للزاوية هو النصف فرق الأساسين الطبيعيين للزاوية.
لا تتحدد قيم الظل الزائدي.
عند الزاوية 0، يكون الظل الزائدي 0.
علاقات الدوال المثلثية
طابقات الدوال:
الدوال المثلثية الدورية لها فترة 2π.
تكون الدوال الجيب وجيب التمام والظل فردية.
تكون الدوال جيب التمام والظل التمام والقطع الزائدي زوجية.
هويات الدوال المثلثية:
الجيب^2(x) + جيب التمام^2(x) = 1
الظل(x) = الجيب(x) / جيب التمام(x)
القطع الزائدي(x) = 1 / جيب التمام(x)
صيغ الزوايا المتعددة:
الجيب(x + y) = الجيب(x) جيب التمام(y) + جيب التمام(x) الجيب(y)
جيب التمام(x + y) = جيب التمام(x) جيب التمام(y) – الجيب(x) الجيب(y)
التطبيقات
تستخدم الدوال المثلثية في مجموعة واسعة من التطبيقات، بما في ذلك:
علم الفلك: لحساب المسافات إلى النجوم والكواكب.
الملاحة: لتحديد موقع سفينة أو طائرة.
الهندسة: لحساب الأطوال والمساحات والزوايا.
الموسيقى: لإنشاء مقاييس وإيقاعات.
الرسومات: لإنشاء منحنيات وأشكال أخرى.
الخلاصة
الدوال المثلثية هي دوال أساسية تستخدم في مجموعة متنوعة من التطبيقات. فهي توفر العلاقات بين الزوايا والأطوال في المثلثات ويمكن استخدامها لنمذجة الظواهر الدورية. تعد فهم الدوال المثلثية وقوانينها أمرًا ضروريًا لحل العديد من المشكلات في العلوم والهندسة.