إذا كان فإن ناتج الضرب الداخلي للمتجهين

إذا كان فإن ناتج الضرب الداخلي للمتجهين.
 الإجابة الصحيحة هي : -٣٢.

الضرب الداخلي للمتجهين

الضرب الداخلي، الذي يُشار إليه أيضًا باسم حاصل الضرب النقطي، هو عملية رياضية تُستخدم لضرب متجهين معًا ينتج عنها قيمة عددية. يُستخدم الضرب الداخلي على نطاق واسع في الفيزياء والهندسة والعلوم الأخرى لحساب كميات مثل المسافة والزوايا وحجم الإسقاط.

خصائص الضرب الداخلي

تبديلية: الضرب الداخلي تبديلي، أي أن a ⋅ b = b ⋅ a.
توزيعية: الضرب الداخلي توزيعي بالنسبة للجمع والطرح، أي أن a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c.
تجانس: الضرب الداخلي متجانس بالنسبة لضرب المتجه في عدد حقيقي، أي أن k(a ⋅ b) = a ⋅ (kb).
إيجابية: الضرب الداخلي للمتجه مع نفسه دائمًا غير سالب، أي أن a ⋅ a ≥ 0.
الطول: طول المتجه هو الجذر التربيعي للضرب الداخلي للمتجه مع نفسه، أي أن |a| = √(a ⋅ a).
المسافة: المسافة بين متجهين a و b هي الجذر التربيعي للضرب الداخلي لـ a – b مع نفسه، أي أن |a – b| = √((a – b) ⋅ (a – b)).
الإسقاط: الإسقاط المتجهي للمتجه a على المتجه b هو (a ⋅ b) / |b|2 b.

تطبيقات الضرب الداخلي

حساب الزوايا: جيب تمام الزاوية θ بين المتجهين a و b يُعطى بواسطة: cos(θ) = (a ⋅ b) / (|a| |b|).
حساب المسافات: المسافة بين النقطتين a و b في الفضاء ثلاثي الأبعاد تُعطى بواسطة: |a – b| = √((ax – bx)2 + (ay – by)2 + (az – bz)2).
تحديد ما إذا كان المتجهان متعامدين: متجهان a و b متعامدان إذا كان a ⋅ b = 0.
حساب حجم الإسقاط: حجم الإسقاط المتجهي للمتجه a على المتجه b يُعطى بواسطة: |a ⋅ b| / |b|.

أمثلة على الضرب الداخلي

في المستوى ثنائي الأبعاد، بالنسبة للمتجهين a = (x1, y1) و b = (x2, y2)، فإن حاصل الضرب الداخلي هو:
a ⋅ b = x1x2 + y1y2
في الفضاء ثلاثي الأبعاد، بالنسبة للمتجهين a = (x1, y1, z1) و b = (x2, y2, z2)، فإن حاصل الضرب الداخلي هو:
a ⋅ b = x1x2 + y1y2 + z1z2

استخدام الضرب الداخلي في الفيزياء

يُستخدم الضرب الداخلي في الفيزياء لحساب العمل الذي تؤديه القوة، والذي يُعطى بواسطة: W = F ⋅ d، حيث F هي القوة و d هو الإزاحة.
يُستخدم الضرب الداخلي أيضًا لحساب الطاقة الحركية للجسم، والتي تُعطى بواسطة: K = (1/2)mv2، حيث m هي كتلة الجسم و v هي سرعته.

استخدام الضرب الداخلي في الهندسة

يُستخدم الضرب الداخلي في الهندسة لحساب مساحة متوازي الأضلاع، والتي تُعطى بواسطة: A = |a × b|، حيث a و b هما متجهان يحددان المتوازي أضلاع.
يُستخدم الضرب الداخلي أيضًا لحساب حجم المكعب، والذي يُعطى بواسطة: V = a ⋅ b × c، حيث a و b و c هي المتجهات التي تحدد المكعب.
الضرب الداخلي للمتجهين هو عملية رياضية مهمة لها تطبيقات واسعة في الفيزياء والهندسة والعلوم الأخرى. يُستخدم الضرب الداخلي لحساب كميات مثل المسافة والزوايا وحجم الإسقاط. يمكن فهم خصائص الضرب الداخلي وعملياته المختلفة من خلال الأمثلة التطبيقية في مختلف المجالات.

أضف تعليق